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刘琳-奥秘的首位数定理

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关于实在国际中的大部分数据集,首位数是1的数字的数量大约是首位数是9的6.6倍,不同首位数呈现的频率遵照一个对数散布,被称为首位数定理。这种首位数散布的非对称性与直觉相反,在长达一个世纪的时期作为一个经历性计算规矩存在,尚未被很好解说。

早年,地理学家在进行地理研讨时,常常要运用对数表。本世纪初,有一次地理学家西蒙纽科姆在查对数表时,偶尔发现了这样的现象:对数表开端的几页总要比后边几页磨损得凶猛。这阐明人们在查对数表时,较多地是运用了以1为首的那几页。所以,纽科姆便产生了这样一个疑问:首位数是1的天然数在整体天然数中占有多大的份额?刘琳-奥秘的首位数定理它是不是要比首位数是其它数字的天然数要多?人们后来把这个问题称为"首位数问题"。

我们可能会以为这个问题是清楚明了的。由于除0以外,共有九个数字:1,2,3,4,5,6,7,8,9,用其间任何一个数字最初的天然数,在整体天然数中的散布是均色络络匀的,时机应该是平等的。也便是说,首位数是1的天然数应该占整体天然数的1/9,但现实并不这么简略。

1974年,其时还在美国哈佛大学做研讨生,后来是美国斯坦福大学计算刘琳-奥秘的首位数定理学家的珀西迪亚科尼斯,研讨了这个问题,所得到的定论出乎人们的预料,首位数是1的天然数约占整体天然数的1/3.精确一点说,这个数值应该是lg2≈0.30103。

这是怎样一回事呢?现实上,用不同数字做首位数字,这样的天然数的散布并不是很均匀的,也不是很规矩的。首位数是1的天然数的散布规矩是:

1到20之间,这样的数有11个,它们是1,10,刘琳-奥秘的首位数定理11,12,……,19,所以约占1/2;

1到30之间,这样的数相同有11个,所以约占1/3;

1到100之间,这样的数相同有11个,所以约占1/9;

1到200之间,这样的数有111个,它们是1,10,11,……,19,100,101,……,199,所以约占1/2

注意到首位数是1的天然数在以上各区间的个数与这个区间的一切天然数的个数的比值,总是在1/2与1/9之间来回震动。迪亚科尼斯通过研讨,总算运用高等数学的办法,得出这些比值的合理平均值,它便是上面所讲到的lg2。

首位数定理,与其称号相反,并非是一个严厉的"定理",而是一个在绝大部分天然数据集中都存在的经历计算规矩。这个规矩由Newcomb S.于1881年初次发现,并由Benford F.于1938年再次独立提出,所以也被称为Benford定理。首位数定理是说,十进制中一个数字的首位数是d(d=1,2,..,9)的概率遵照如下的对数散布,越大的数字呈现的概率越低。

简略地说,一堆从实际生活得出的数据中,以1为首位数字的数的呈现概率约刘琳-奥秘的首位数定理为总数的三成,挨近直觉得出之期望值1/9的3倍。推行来说,越大的数,以它为首几位的数呈现的概率就越低。它可用于查看各种数据是否有造假。

首位数定理的"奥秘"性在于,尽管绝大部分天然刘琳-奥秘的首位数定理数据集契合首位数定理,人工假造的数据集大部分却不满意首位数定理,好像天然界存在某种特别的数据生产过程。

迪亚科尼斯其时并不知道这样偶尔的发现有什么实际意义。后来,美国西雅图波音航天局数学家梅尔达德沙沙哈尼在研讨用计算机描绘天然现象的问题时,用上了这个定论。美国波音航天局还将这一效果用于飞机模拟器,使飞翔员在不离开地面的情况下承受练习,而能得到一种在空中飞翔的实感。首位数问题的定论在科学技术上发挥了严重的效果。

另外在研讨该定理在粒子物理与天体物理中的表现时发现,粒子物理中的强刘琳-奥秘的首位数定理子宽度与寿数、脉冲星中的功率与运动等多类物理量均契合Benford散布;计算物理中的三大正则计算——玻尔兹曼-吉布斯计算、费米-狄拉克计算和玻色-爱因斯坦计算均解析满意首位数规矩。

近期,北京大学的马伯强教授和丛明舒、李聪乔在Elsevier旗下期刊Physics Letters A上宣布了一篇题为"First Digit Law from Laplace Transform"的文章,运用Laplace改换推导并解说了首位数定理,阐明首位数定理并非源于天然界某种奥秘的数据生产过程,而是人类创造的进位计数体系的内涵特点,并主张首位数定理作为一个根底数学知识被科学工作者遍及了解。